Pellizcas una foto con dos dedos y gira y se agranda suavemente bajo ellos. Un personaje de un videojuego se voltea hacia ti y cada esquina de su cara gira al mismo tiempo. Una búsqueda de "la mejor pizza cerca de mí" ordena millones de páginas en una fracción de segundo. Un economista del banco central modifica un supuesto y una pantalla muestra cómo se mueven a la vez todos los sectores de la economía.
Debajo de los cuatro hay el mismo objeto: una tabla de números, y un hábito de pensamiento sobre lo que una tabla de números hace. Quien ha cursado álgebra lineal ya no ve una tabla. Ve una máquina que toma todo el plano, o todo el espacio, y lo mueve.
Esta pieza construye esa imagen con siete cosas que puedes arrastrar. No saldrás sabiendo calcular a mano el determinante de una matriz de 5×5 (nadie lo hace a propósito). Saldrás viendo por qué un sistema de ecuaciones a veces no tiene respuesta, por qué toda regresión es una proyección y por qué los chips que corren la inteligencia artificial están hechos para una sola operación.
Quién la cursa: casi todos los estudiantes de Economía, de Ingeniería y de Informática, normalmente en el primer o segundo año. Es la materia de matemáticas que más se reutiliza en esas carreras. Según el país y la universidad se llama Álgebra lineal, Álgebra y geometría o Matrices y sistemas.
Para qué sirve: manejar muchas incógnitas y muchas dimensiones a la vez, con un solo juego de herramientas.
Viene después de: solo el álgebra escolar y un poco de geometría. (El cálculo ayuda, pero no es requisito.)
Lleva a: Econometría (34/36), Cálculo multivariable (34/33), Macroeconomía (34/35) y Aprendizaje automático (34/30); en ingeniería, Estática (en inglés, 34/10), Sistemas de control (en inglés, 34/20), Vibraciones (en inglés, 34/17) y Arquitectura de computadores (en inglés, 34/25).
Una línea honesta: después de esta pieza no sabrás programar un modelo de insumo-producto de un país entero. Sí verás por qué casi todo su tiempo se va en resolver una sola ecuación, Ax = b. Si quieres una primera lectura más fácil, prueba Vectores, matrices y transformaciones lineales (en inglés, 12/14); esta va más lejos en resolver, autovectores, ajustar datos y por qué el hardware se interesa.
Empieza por la imagen que conserva el graduado. Una matriz de 2×2 no son cuatro números. Son dos flechas. La primera columna dice adónde va a parar la flecha que apunta un paso a la derecha (llámala i). La segunda columna dice adónde va a parar la flecha que apunta un paso hacia arriba (j). Una vez que sabes dónde caen esas dos, sabes dónde cae todo, porque cada punto es cierta cantidad de i más cierta cantidad de j, y la máquina es recta y pareja: las líneas de la cuadrícula siguen siendo rectas, y las líneas igualmente espaciadas siguen igualmente espaciadas.
Léelo en palabras: la matriz por un punto es "tantas veces la primera columna, más tantas veces la segunda". Pruébalo. La cuadrícula gris es el plano original; la cuadrícula azul es adonde lo manda la matriz.
Sin JavaScript: la matriz de giro de 30° manda la flecha (1, 0) a (0.87, 0.5) y la flecha (0, 1) a (−0.5, 0.87). Cada línea de la cuadrícula gira 30° y el cuadrado unitario conserva su área de 1.
Fíjate en lo que hace el cuadrado unitario sombreado. En "Girar" conserva su tamaño. En "Estirar" se duplica. En "Cizalla" se inclina pero conserva su área. Ese cambio de área es la siguiente idea.
El determinante es un número que dice cuánto escala la máquina el área. Si el cuadrado unitario se convierte en una figura de área 5, el determinante es 5. Si se convierte en una imagen de espejo, el determinante es negativo: el área se conserva (o se escala) pero la orientación se voltea. Para una matriz de 2×2 con columnas (a, c) y (b, d) la regla es corta:
Un número resuelto: la matriz con columnas (2, 1) y (1, 3) tiene det = 2×3 − 1×1 = 5, así que estira cada área del plano por un factor de cinco. En tres dimensiones el determinante escala el volumen.
El caso interesante es el cero. Un determinante de cero significa que la máquina aplasta el espacio: el plano queda aplastado sobre una recta (o un punto), y el área se vuelve nada. Aplastar no se puede deshacer, porque muchos puntos de partida caen en el mismo lugar. Arrastra el deslizador hasta que el determinante llegue a cero.
Sin JavaScript: la matriz con columnas (1, 0.5) y (s, 1) tiene determinante 1 − 0.5s. Con s = 2 el determinante es 0, todo el plano cae sobre una recta, y los puntos (0, 0) y (2, −1) caen ambos en el origen.
El punto naranja es una sonda en (2, −1). Con s = 2 cae exactamente en el origen, el mismo lugar que el punto (0, 0). Dos entradas distintas, una sola salida: ninguna máquina podría decirte con cuál empezaste. Ese es todo el significado de "esta matriz no tiene inversa", y por eso un determinante cero es la alarma en todo programa que resuelve sistemas que vayas a encontrar.
Ahora usa la máquina al revés. Dada la salida b, ¿de qué entrada x partió la máquina? Esa es la ecuación Ax = b, y es el problema más común de la matemática aplicada. Cada vez que tienes varias incógnitas atadas entre sí por varias relaciones en línea recta, tienes una.
Un ejemplo de economía es el modelo de insumo-producto de Wassily Leontief, que presentó en 1936 y por el que recibió el Premio Nobel de Economía en 1973. Toma una economía de dos sectores, agricultura e industria. Cada sector necesita productos de los dos para producir: la agricultura usa algo de su propia producción y algo de la industria (fertilizantes, maquinaria); la industria usa algo de la agricultura (materias primas) y algo de sí misma. Lo que queda después de esos usos internos es la demanda final: lo que compran los hogares, el gobierno y el exterior. La contabilidad de cada sector dice: producción total = lo que usan los sectores como insumos + demanda final. Con aij como la cantidad del sector i que hace falta por cada unidad producida del sector j, queda un sistema de dos ecuaciones. Con a11 = 0.2 y a22 = 0.1 fijas, a12 = 0.3 y a21 = 0.4:
El determinante es 0.8×0.9 − 0.3×0.4 = 0.60, así que hay exactamente una respuesta. Con una demanda final de 50 en agricultura y 30 en industria (en millones de dólares, ilustrativos), la economía tiene que producir x1 = 90 en agricultura y x2 = 73.33 en industria: bastante más que lo que se entrega a los consumidores, porque una parte se gasta dentro del propio sistema. Cambia las demandas y los coeficientes y mira cómo cambian a la vez la matriz y la respuesta.
Sin JavaScript: con d1 = 50, d2 = 30, a12 = 0.3 y a21 = 0.4 las ecuaciones son 0.8x1 − 0.3x2 = 50 y −0.4x1 + 0.9x2 = 30, su determinante es 0.60, y la producción necesaria es 90 en agricultura y 73.33 en industria.
La razón por la que importa: nada de este método sabe que es una economía. Un circuito es lo mismo. Dos mallas comparten una resistencia; la ley de voltajes de Kirchhoff dice que el voltaje que se gana en cada malla es igual al que se pierde, lo que da una ecuación por malla. Con una batería de 10 V, R1 = 2 Ω, R2 = 3 Ω (compartida) y R3 = 4 Ω salen 5I1 − 3I2 = 10 y −3I1 + 7I2 = 0, con determinante 26 y corrientes I1 = 2.69 A e I2 = 1.15 A. Una armadura de un puente, también: en cada nudo las fuerzas horizontales suman cero, y las verticales también. Y en la economía real el tamaño es otro: las oficinas de estadística, como el INEGI en México, que publica la Matriz de Insumo-Producto con año base 2018, construyen tablas con muchos sectores y productos, y calcular qué producción total exige una demanda final sigue siendo resolver una Ax = b, con la misma idea y más ecuaciones. (Estática, en inglés, 34/10, es esta idea aplicada a las fuerzas.)
Un determinante cero en las ecuaciones de un sistema es una advertencia: en la economía, que no hay producción que satisfaga la demanda; en una estructura, que puede moverse sin que ninguna barra empuje de vuelta.
La mayoría de las flechas son giradas por una matriz además de estiradas. Pero para muchas matrices hay direcciones especiales donde la flecha sale apuntando igual (o exactamente al revés), solo más larga o más corta. Esos son los autovectores (o vectores propios), y el factor de estiramiento a lo largo de cada uno es su autovalor (o valor propio). (Eigen es "propio" en alemán, y de ahí viene la palabra: las direcciones propias de la matriz.)
En palabras: dale a la matriz la flecha especial v y devuelve la misma flecha multiplicada por un número simple λ. Para la matriz con columnas (2, 1) y (1, 2) las direcciones especiales son 45° (estirada por 3) y 135° (estirada por 1). Cualquier otra flecha se dobla hacia la que más estira. Gira el dial y busca los momentos en que las dos flechas se alinean.
Sin JavaScript: para la matriz con columnas (2, 1) y (1, 2), una flecha a 45° sale a 45° tres veces más larga, y una flecha a 135° sale a 135° sin cambio. Un giro puro no tiene ninguna dirección así.
Tres cosas para notar. La cizalla tiene una sola dirección especial (a lo largo del eje x, donde no pasa nada). El giro no tiene ninguna, porque toda flecha gira. Y "Dos resortes" tiene dos direcciones especiales con factores de estiramiento distintos, 1 y 3; guarda ese dato.
Vibración. Imagina dos masas iguales sobre resortes entre dos paredes. Empújalas como quieras y el movimiento se ve confuso. Pero hay exactamente dos patrones limpios: las dos se balancean juntas, o se balancean en sentidos opuestos. Son los modos, y son los autovectores de la matriz de "dos resortes" de arriba, (1, 1) y (1, −1). Los autovalores 1 y 3 fijan qué tan rápido vibra cada modo: la frecuencia al cuadrado es el autovalor por k/m, así que el modo de movimiento opuesto vibra √3 ≈ 1.73 veces más rápido. Cualquier movimiento confuso es una mezcla de los modos. Así hallan los ingenieros qué tonos harán temblar un ala, el tablero de un puente o un eje de transmisión (Vibraciones, en inglés, 34/17).
Dinámica económica. La misma idea sirve para un sistema que se actualiza paso a paso, como un modelo en que la economía de este año depende de la del año anterior mediante una matriz. Si todos los autovalores tienen valor absoluto menor que 1, el sistema vuelve al equilibrio después de un choque; si alguno es mayor que 1, se aleja. Es el mismo cálculo con otro nombre en Macroeconomía (34/35).
Ordenar páginas. Los fundadores de Google modelaron a un navegante que sigue un enlace al azar desde cada página y de vez en cuando salta a una página al azar. El tiempo que pasa a la larga en cada página es su PageRank, y es el autovector (con autovalor 1) de la matriz que describe un paso de ese navegante. En su artículo de 1998, Brin y Page usaron una probabilidad de "amortiguamiento" de 0.85 para seguir enlaces. Puedes hallar el autovector sin resolver nada complicado: empieza con puntajes iguales y aplica la máquina una y otra vez. Pulsa Un paso.
Sin JavaScript: A enlaza a B y C, B enlaza a C, C enlaza a A, D enlaza a C. Después de muchos pasos con amortiguamiento 0.85, los rangos se asientan en A 0.373, B 0.196, C 0.394, D 0.038. D, a quien nadie enlaza, conserva solo la parte base.
Después de unos veinte pasos los números dejan de cambiar: el vector se ha vuelto un autovector, porque aplicar la máquina otra vez devuelve el mismo vector. La página C gana porque dos páginas apuntan a ella y una de ellas (A) está, a su vez, bien posicionada. El mismo esquema describe cualquier cosa que se reparte en proporciones y se actualiza por pasos, como la cuota de mercado de varias marcas cuando los clientes cambian de una a otra con ciertas probabilidades: a la larga, el reparto se asienta en un autovector.
Los datos reales nunca son perfectos. Seis mediciones que "deberían" estar en una recta no lo estarán, y entonces las ecuaciones Ax = b tienen más ecuaciones que incógnitas y ninguna solución exacta. ¿Te rindes? No. Eliges la recta cuyo error total sea el menor. Mide cada fallo en vertical, elévalo al cuadrado y suma los cuadrados. La recta de mínimos cuadrados hace ese total lo más pequeño posible.
Un ejemplo de economía: seis tiendas, con el gasto en publicidad x (miles de dólares al mes) y las ventas y (decenas de miles de dólares al mes). Los datos son inventados. En imágenes: cada fallo al cuadrado es literalmente un cuadrado. Arrastra la recta y mira cómo los cuadrados crecen y se encogen.
Sin JavaScript: para los seis puntos (1, 1.2), (2, 2.9), (3, 3.1), (4, 4.8), (5, 5.2), (6, 7.1) la mejor recta es y = 1.089x + 0.24, con fallo total al cuadrado de 0.798. La conjetura y = x da 2.75.
La recta de mínimos cuadrados dice que, en estos datos inventados, cada mil dólares más de publicidad se asocia con unos 10,890 dólares más de ventas (1.089 × 10,000). Se asocia, no se causa: que la publicidad cause las ventas es otra pregunta, la que ocupa a Econometría (34/36). Pero la recta misma sale de esta idea, y es la regresión que usan los economistas todos los días.
La imagen del graduado es geométrica: el lado derecho b es un punto fuera de la lámina plana de todo lo que la matriz puede alcanzar, y la mejor respuesta es el punto de la lámina más cercano a él, que se halla soltando una perpendicular. Esa condición de perpendicularidad da la ecuación que hay que recordar:
En palabras: multiplica ambos lados por la matriz volteada de costado y obtienes un sistema cuadrado que sí puedes resolver. En econometría esta es la fórmula de los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios, con tantas variables como quieras. La historia es una disputa de prioridad: Legendre publicó el método en 1805, Gauss dijo que lo usaba desde 1795 y lo publicó en 1809, y su uso para predecir dónde reaparecería el asteroide Ceres en 1801 lo hizo famoso. Hoy está debajo de toda línea de tendencia, de toda calibración de un sensor y del primer modelo que entrena casi cualquier estudiante de aprendizaje automático.
Multiplicar dos matrices son solo muchos productos punto: cada celda de la respuesta es una fila de la primera matriz emparejada con una columna de la segunda, multiplicadas y sumadas. Toca una celda de abajo y mira la fila y la columna que la forman.
Las velocidades son números redondos ilustrativos, no de un chip en particular.
Sin JavaScript: multiplicar dos matrices de n×n toma n×n×n multiplicaciones. Para n = 1,000 son 1,000,000,000 (mil millones), y las 1,000,000 de celdas de la respuesta se pueden calcular todas de forma independiente.
De ahí se siguen dos hechos. Primero, el trabajo es enorme: las matrices de n×n necesitan n³ multiplicaciones, así que 1,000×1,000 son mil millones. Segundo, las celdas son independientes, así que mil trabajadores (o un millón) pueden tomar celdas a la vez. Esa es exactamente la forma del trabajo para el que se construyó un chip gráfico, porque dibujar una escena en 3D significa pasar cada esquina de cada triángulo por una matriz que la gira, la mueve y la proyecta.
Las redes neuronales modernas resultaron tener la misma forma. Una capa de una red es una matriz de números aprendidos por un vector (o una matriz) de entradas. En su artículo sobre leyes de escala, Kaplan y colaboradores estiman que un modelo de lenguaje tipo transformer con N parámetros necesita aproximadamente 2N operaciones aritméticas para procesar un token. GPT-3, con 175 mil millones de parámetros, necesita entonces unas 3.5×1011 operaciones por cada token, casi todas dentro de productos de matrices. Las GPU Volta de NVIDIA (2017) pusieron en el chip circuitos dedicados llamados "tensor cores" que no hacen más que una pequeña multiplicación y suma de matrices (4×4) por cada tic del reloj. Cuando se dice que la IA corre en GPU, quiere decir que corre en un hardware con forma de álgebra lineal. (Arquitectura de computadores, en inglés, 34/25, y Aprendizaje automático, 34/30.) Una pista de lengua: en el español de casi todos los países, 109 es "mil millones" y 1012 es "un billón"; el "billion" del inglés es nuestro "mil millones", y su "trillion" es nuestro "billón".
El álgebra lineal es el estudio de las máquinas que mueven todo el espacio a la vez. Lee una matriz por sus columnas, lee su determinante como la escala del área, resuelve Ax = b cuando necesites correr la máquina al revés (una economía de Leontief, un circuito, una armadura), busca las direcciones de los autovectores cuando quieras que sea simple y proyecta sobre lo que puedes alcanzar cuando no haya respuesta exacta.
Prueba esto: la próxima vez que una aplicación acerque, gire o cambie el color de una foto, imagina las dos flechas de las columnas moviéndose. Y por diversión, en el interactivo de la economía sube el coeficiente a21 a 0.8 y a12 a 0.8: mira cómo la producción necesaria se dispara cuando el determinante se acerca a cero.
Fuentes. Strang, Introduction to Linear Algebra (6.ª ed., 2023) y MIT 18.06 para el contenido del curso estándar. Las ecuaciones de malla de Kirchhoff y los modos de masa-resorte son deducciones de libro de texto; todos los números de arriba se volvieron a calcular en código. Modelo de insumo-producto: W. Leontief, "Quantitative Input and Output Relations in the Economic System of the United States", Review of Economics and Statistics 18(3), 1936, pp. 105–125 (Wikipedia, "Wassily Leontief"); Premio Nobel de Economía 1973 "por el desarrollo del método de insumo-producto y su aplicación a problemas económicos importantes" (NobelPrize.org, "Wassily Leontief – Facts"); Matriz de Insumo-Producto de México, año base 2018, publicada por el INEGI (página del programa en inegi.org.mx). Interactivo de la economía, calculado en node: con a11 = 0.2, a22 = 0.1, a12 = 0.3, a21 = 0.4, el determinante de (I − A) es 0.60 y, para d = (50, 30), x = (90, 73.333); los números son ilustrativos. Datos de publicidad y ventas inventados; recta de mínimos cuadrados y = 1.089x + 0.24 con suma de cuadrados 0.798. Legendre 1805 y la reclamación de prioridad y la predicción de Ceres de Gauss: Wikipedia, "Least squares"; biografía de Legendre en MacTutor. PageRank y el factor de amortiguamiento 0.85: Brin y Page, "The Anatomy of a Large-Scale Hypertextual Web Search Engine" (1998). Tensor cores de Volta (multiplicación y acumulación de matrices de 4×4): Markidis et al., "NVIDIA Tensor Core Programmability, Performance & Precision" (2018). Unas 2N operaciones por token: Kaplan et al., "Scaling Laws for Neural Language Models" (2020); GPT-3 con 175 mil millones de parámetros: Brown et al. (2020). Las ediciones de libros y los cursos se comprobaron en las páginas de las editoriales y de las instituciones (Pearson, McGraw-Hill, OpenCourseWare de la UC3M y de la Universidad de Cantabria, edX, MIT OpenCourseWare). Adaptada de la pieza en inglés Linear Algebra.